Problemy izoperymetryczne

Przez problem izoperymetryczny rozumiemy zagadnienie znalezienia ekstremów funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip .3pc \) w zbiorze funkcji dopuszczalnych \( \hskip 0.3pc {\cal M},\hskip 0.3pc \) spełniających ponadto warunek \( \hskip 0.3pc {\cal K}(u)=L,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc {\cal K}\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem podobnej natury jak funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest ustaloną stałą. Niech \( \hskip 0.3pc f,g:[a,b]\times\mathbb R^2\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będą funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc {\cal M}\hskip 0.3pc \) będzie następującą klasą funkcji

\( {\cal M}=\big\{u\in C^1([a,b])\,:\,u(a)=\alpha ,\, u(b)=\beta \big\}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha ,\beta \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \)
Rozważmy funkcjonały:

\( {\cal F}(u)=\displaystyle\int_a^bf(x,u,u^\prime)dx \)

oraz

\( {\cal K}(u)=\displaystyle\int_a^bg(x,u,u^\prime)dx, \)

określone na zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^1([a,b]).\hskip 0.3pc \) Szukamy ekstremów funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) w zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M},\hskip 0.3pc \) spełniających ponadto warunek \( \hskip 0.3pc {\cal K}(u)=L.\hskip 0.3pc \) Problem ten możemy rozwiązać adoptując znaną z klasycznej teorii ekstremów warunkowych metodę mnożników Lagrange'a (szczegóły wyprowadzenia pomijamy). W tym celu rozważamy nowy funkcjonał

\( {\cal J}(u)=\displaystyle\int_a^b\big(f(x,u,u^\prime)+\lambda g(x,u,u^\prime)\big)dx. \)

Zgodnie z poprzednimi wynikami ekstremale funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal J}\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania Eulera-Lagrange'a

\( \dfrac d{dx}\big(f_{u^\prime}+\lambda g_{u^\prime}\big)- f_u- \lambda g_u =0. \)

Jeśli ponadto spełniają one warunek \( \hskip 0.3pc {\cal K}(u)=L,\hskip 0.3pc \) to są funkcjami na których badany problem izometryczny może osiągać ekstremum.

Przykład 1:

Wyznaczyć na płaszczyżnie figurę o największym polu mając zadany obwód.

Zgodnie z wzorami (2) i (3) z modułu Wprowadzenie do rachunku wariacyjnego-( 2 ) należy znaleźć minimum funkcjonału

\( {\cal F}(x,y)=\dfrac 12 \displaystyle\int_a^b\big(xy^\prime-x^\prime y\big)dt \)

w zbiorze funkcji różniczkowalnych \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in [a,b],\hskip 0.3pc \) takich że \( \hskip 0.3pc x(a)=x(b),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(a)=y(b),\hskip 0.3pc \) spełniających ponadto warunek

\( \displaystyle\int_a^b \sqrt{x{^\prime}^2+{y^\prime}^2}dt =L. \)

Zgodnie z poprzednimi uwagami szukamy minimum funkcjonału

\( \displaystyle\int_a^b\Big(\tfrac 12(xy^\prime-x^\prime y)+\lambda \sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}\Big) dt. \)

Na mocy twierdzeniem 1 z modułu Funkcjonały zależne od funkcji wektorowej-1 ekstremale tego funkcjonału są rozwiązaniami układu równań

\( \dfrac d{dt}\Big(\dfrac 12 x+\lambda \dfrac {y^\prime}{\sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}}\Big)+\dfrac 12x^\prime =0,\qquad \dfrac d{dt}\Big(-\dfrac 12 y+\lambda \dfrac {x^\prime}{\sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}}\Big)-\dfrac 12y^\prime=0, \)

lub

\( x^\prime= -\lambda \dfrac d{dt} \Big(\tfrac {y^\prime}{\sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}}\Big) ,\qquad y^\prime = \lambda \dfrac d{dt}\Big(\dfrac {x^\prime}{\sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}}\Big), \)

a po scałkowaniu względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \)

\( x-C_1=-\lambda \dfrac {y^\prime}{\sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}},\qquad y-C_2=\lambda \dfrac {x^\prime}{\sqrt{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}}. \)

Po podniesieniu do kwadratu i zsumowniu ostatnich równań otrzymamy

\( (x-C_1)^2+(y-C_2)^2= \lambda ^2. \)

Zatem figurą o maksymalnym obszarze jest koło.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Problemy izoperymetryczne

Przykład 1: